Suites géométriques

Exercice 1

On considère la suite géométrique \((u_n)\) de premier terme  `u_0=2` et de raison \(\displaystyle\frac{2}{3}\) .
1. Exprimer, pour tout entier naturel \(n\) , `u_{n+1}`  en fonction de `u_n` .
2. Déterminer, pour tout entier naturel  \(n\) , `u_{n}`  en fonction de  \(n\) .
3. Calculer `u_{10}`  et en donner une valeur approchée à  `10^{-3}` près.
4. Calculer `u_0+u_1+\cdots+u_{15}` .

Exercice 2

Dans un laboratoire de chimie, un employé utilise un liquide volatile. À l’origine, il y a 75 cL de liquide dans une bouteille.
L’employé referme mal cette bouteille et on considère alors que le liquide perd chaque jour 5 % de son volume par évaporation.
Pour tout entier naturel `n` , on note  `u_n` la quantité de liquide, exprimée en cL, présente dans la bouteille après de  `n` jours. On a donc `u_0=75` .

1. Pour tout entier naturel `n` , exprimer  `u_{n+1}` en fonction de `u_n` . Quelle est la nature de la suite ?
2. Pour tout entier naturel `n` , exprimer  `u_{n}` en fonction de `n` .
3. Calculer la quantité de liquide restante dans la bouteille après une semaine.
4. On admet que la suite `(u_n)`  est décroissante. À l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien de jours la bouteille contient moins de 20 cL.